使用 Brauer-Manin 阻挡描述齐次空间中的强逼近区

对于数域 $k$ 上的齐次空间 $X$，Brauer-Manin 阻挡已被用于研究 $X$ 在除有限集合 $S$ 之外处的强逼近问题，已知结果表明 $X(k)$ 在省略-$S$ 投影下的 Brauer-Manin 集 $\mathrm{pr}_S(X(\mathbb{A}_k)^{\mathrm{br}})$ 中稠密，前提是满足某些假设。为了完全理解 $X(k)$ 在 $S$-adelic 点集合 $X(\mathbb{A}_k^S)$ 中闭包，我们提出问题：(i) $\mathrm{pr}_S(X(\mathbb{A}_k)^{\mathrm{br}})$ 是否闭合于 $X(\mathbb{A}_k^S)$；(ii) $X(k)$ 是否稠密于由诱导在 $S$ 中所有处处零评估映射的元素所划分的 $X(\mathbb{A}_k^S)$ 的闭子集。我们还考虑仅使用代数 Brauer 群的情况。我们给出了在半简单紧连乘群且稳定子为交换的齐次空间 $X$ 下对这些问题的答案。