在量子色动力学中求解多右端项线性方程组时的特征值计算与 deflate 技术

我们提出了一种新算法，在使用共轭梯度法 (CG) 求解线性方程组的同时，计算 Hermitian 正定矩阵的特征值和特征向量。传统上，所有 CG 迭代向量都可以被保存，并通过三对角投影矩阵的特征向量进行重组，这在理论上等价于未重启的 Lanczos 方法。我们的算法利用 CG 产生的迭代向量，仅更新一个近似特征向量的小窗口。虽然该窗口以局部最优的方式重启，但用于线性方程组的 CG 算法不受影响。然而，在所有实验中，这个小窗口收敛到所需特征向量的速率与未重启的 Lanczos 方法相同。在线性方程组求解完成后，尚未准确收敛的特征向量可以通过求解额外的线性方程组以增量方式进行改进。在这种情况下，早期系统中识别出的特征向量可用于 deflate，从而加速后续系统的收敛。我们在格点 QCD 应用中使用了该算法并取得了优异结果，其中可能需要数百个右端项。具体而言，在求解 24 个右端项后，获得了约 70 个达到完全精度的特征向量。从大量后续右端项中 deflate 这些特征向量，消除了令人担忧的临界慢化现象，即当夸克质量达到临界值时矩阵条件数增加的情况。我们的实验表明，无论夸克质量如何，我们方法的迭代次数几乎保持恒定，并且对于轻夸克质量，其速度比原始 CG 快 8 倍。