关于二阶逻辑中某些k元关系的可定义性

我们考察在一阶可数逻辑中表达某些计算机科学中重要关系的可表达性。对于整数$n\geq 1$和$k\leq b$，若$k$元序列在$\{0,1,\ldots, b-1\}^n$中存在一个坐标使其全部不同，则称为$k$哈希。若集合$\mathcal{C}$中的任意$k$个不同元素都是$k$哈希的，则称$\mathcal{C}$为$k$哈希码。测试码是否为$k$哈希以及确定$k$哈希码的最大尺寸是计算机科学中的重要问题。使用通用求解器求解此问题引出了一个问题，即需要何种最小逻辑来表示该问题。在本文中，我们证明了$k$哈希关系在单子二阶逻辑(MSO)中不可定义，凸显了其在此问题上的局限性。相反，可在添加等基数关系的MSO扩展中表达该性质。