多色 Ramsey 数与随机球图

Ramsey 数 $r(t;\ell)$ 是最小的 $n$，使得每个 $\ell$ 着色的 $K_n$ 边都给出单色 $K_t$。近年来，针对 $\ell\geq 3$ 的这些数的渐进下界有了若干改进。这始于 Conlon 和 Ferber 的突破性结果，随后是 Wigderson 和 Sawin 的进一步改进。基于前述方法，Sawin 使用不平衡的二项随机图的 blowup 来展示存在某个显式常数 $\delta_*\approx 0.383796$，使得 $r(t;\ell)\geq 2^{\delta_*(\ell-2)t+t/2+o(t)}$。在本短笔记中，我们展示可以通过用随机球图取代二项随机图来获得这个界限的指数性改进，这一模型最近被 Ma、Shen 和 Xie 用于在略微非对角线设置下针对 (2-色) Ramsey 数的下界取得突破性结果。