近线性时间内的递减强连通分量与单源可达性

计算图 $G=(V,E)$ 中的强连通分量（SCCs）已知仅需 $O(m + n)$ 时间，使用 Tarjan 于 1972 年 [SICOMP 72] 的算法，其中 $m = |E|$，$n=|V|$。对于全动态图，条件下界提供的证据表明，更新时间相对于每次更新后从头重算 SCCs 无法被多项式因子改进。尽管如此，在为递减图（即经历边删除的图）寻找快速更新时间算法方面已取得实质性进展。在本文中，我们提出首个针对一般递减图的算法，其在总更新时间 $\tilde{O}(m)$ 内维护 SCCs，因此仅与最优运行时间相差多对数因子。此前该结果仅知于平面图这一特例 [Italiano 等, STOC 2017]。我们的结果应与之前一般图的最好算法相比，后者由 Chechik 等 [FOCS 16] 达到 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 总更新时间，其改进了由 Henzinger、Krinninger 和 Nanongkai [STOC 14, ICALP 15] 带来的突破性结果 $O(mn^{0.9 + o(1)})$ 总更新时间；这些结果又改进了 Roditty 和 Zwick [STOC 04] 长期以来的 $O(mn)$ 界。上述所有结果也适用于递减单源可达性（SSR）问题，其可归约为递减维护 SCCs。递减 SSR 的 $O(mn)$ 总更新时间界已由 Even 和 Shiloach [JACM 1981] 于 1981 年确立。利用一个众所周知的归约，我们可以在更新时间 $\tilde{O}(\frac{|S|m}{t})$ 和查询时间 $O(t)$（对所有 $t \in [1,|S|]$）下维护全动态图中点对 $S \times V$（$S \subseteq V$）的可达性；这推广了较早的 $S = V$ 的全点对可达性 [{\L}\k{a}cki, TALG 2013]。