最大流/最小割系统中安全博弈的概率边缘分解

给定集合系统 $(E, \mathcal{P})$，其中 $\rho \in [0, 1]^E$ 且 $\pi \in [0,1]^{ \mathcal{P}}$，我们的目标是为随机集合 $S \subseteq E$ 寻找一个概率分布，使得对所有 $e \in E$ 有 $\operatorname{Pr}[e \in S] = \rho_e$，且对所有 $P \in \mathcal{P}$ 有 $\operatorname{Pr}[P \cap S \neq \emptyset] \geq \pi_P$。我们扩展了 Dahan、Amin 和 Jaillet（MOR 2022）的研究结果，他们受有向无环图（DAG）中安全博弈的启发研究了该问题。我们关注 $\pi$ 具有仿射形式 $\pi_P = 1 - \sum_{e \in P} \mu_e$（其中 $\mu \in [0, 1]^E$）的情形。存在所需分布的必要条件是对所有 $P \in \mathcal{P}$ 有 $\sum_{e \in P} \rho_e \geq \pi_P$。我们证明该条件充分当且仅当 $\mathcal{P}$ 具有弱最大流/最小割性质。我们进一步提供了一种高效的组合算法，用于在 $(E, \mathcal{P})$ 为抽象网络的特殊情形下计算相应分布。由此，Dahan 等人提出的安全博弈的平衡可在多种设置（包括任意有向图）中高效计算。作为我们算法的子过程，我们提供了一种在抽象网络中计算最短路径的组合算法，部分回答了 McCormick（SODA 1996）提出的一个开放问题。我们进一步表明，Dahan 等人针对 DAG 中需求向量 $\pi$ 提出的守恒律可归约至上述仿射需求的情形。