从混合数据中解码：精确的信息论界

考虑一个由 $n$ 个个体组成的群体，每个个体具有 $d$ 种类型之一（例如他们的血型，在这种情况下 $d=4$）。我们可以通过指定群体的一个子集来查询该数据库，作为响应，我们观察到混合个体类型的一个无噪声直方图（一个 $d$ 维计数向量）。这种测量模型出现在实际情况中，例如基因数据的混合，也可能出于隐私考虑而受到启发。我们感兴趣的是明确确定每个个体类型所需的查询次数。在本文中，我们在随机、稠密设定下研究这一信息论问题，其中在每次查询中，选择大小与 $n$ 成正比的随机个体子集。这使得该问题成为具有“植入”解的随机约束满足问题（CSP）的一个特例。我们建立了关于最小查询次数 $m$ 的几乎匹配的上下界，使得当 $n$ 趋于无穷大时，除植入解外无其他解的概率趋于 1。我们的证明依赖于计算该模型在热力学极限下的精确“退火自由能”，它对应于该植入 CSP 的期望解数衰减的指数速率。作为分析的副产品，我们展示了一个具有独立意义的恒等式，将图上欧拉流空间上的高斯积分与其生成树多项式联系起来。