针对p次根链接泊松回归的数据子采样

我们开发并分析了针对泊松回归的数据子采样技术，泊松回归是计数数据 $y\in\mathbb{N}$ 的标准模型。特别地，我们考虑了具有ID和平方根链接函数的泊松广义线性模型。我们考虑了核心集方法，即小的加权子集，它们能以 $1\pm\varepsilon$ 的因子近似泊松回归的损失函数。我们证明了针对泊松回归的核心集存在 $\Omega(n)$ 的下界，并且该下界在忽略对数因子的情况下对任意数据缩减技术都成立。通过引入一个新的复杂度参数和一个域偏移方法，我们证明了当复杂度参数较小时，存在具有 $1\pm\varepsilon$ 近似保证的次线性核心集。特别地，对输入点数量的依赖性可以降低到多对数级别。我们表明，对其他输入参数的依赖性也可以被次线性地界定，尽管不总是对数级别的。特别地，我们证明了平方根链接函数允许 $O(\log(y_{\max}))$ 的依赖性，其中 $y_{\max}$ 表示数据中出现的最大计数，而ID链接函数则需要 $\Theta(\sqrt{y_{\max}/\log(y_{\max})})$ 的依赖性。作为证明ID链接函数情况下关于 $y_{\max}$ 的界紧致性的一个辅助结果，我们展示了Lambert $W_0$ 函数主分支的一个改进界，这可能具有独立的研究意义。我们进一步展示了当考虑 $p\geq 3$ 的 $p$ 次根链接函数时我们分析的局限性，这表明即使这种推广是可能的，也需要其他的分析或计算方法。