数据驱动编码：计算 Koopman 算子的一种新数值方法

本文提出一种基于直接编码（DE）公式构造 Koopman 线性模型的数据驱动方法。主流方法动态模态分解（DMD）及其扩展基于最小二乘估计，可证明偏向于密集分布的数据。由非线性状态转移函数与可观测量函数的内积构成的 DE 公式不会产生此偏估计问题，因此可作为 DMD 的理想替代。然而，原始 DE 公式需要已知非线性状态方程，而这在许多实际应用中并不可得。本文将 DE 公式推广为一种数据驱动方法——Koopman 算子的数据驱动编码（DDE），其中内积由取自非线性动力系统的数据计算。给出了计算内积的有效算法，并证明了它们收敛到真值。数值实验验证了 DDE 相对于扩展 DMD 的有效性。实验展示了 DDE 对数据分布的鲁棒性及其收敛特性，保证了随样本点增加精度提升。此外，DDE 被应用于 Koopman 算子的深度学习以进一步提高预测精度。