登顶路径

设 $a$ 与 $b$ 为两个正整数。登顶路径（culminating path）是 $\mathbb{Z}^2$ 中的一条路径，它从 $(0,0)$ 出发，由步 $(1,a)$ 与 $(1,-b)$ 组成，始终保持在 $x$ 轴上方，并终止于其所达到的最高纵坐标处。这类路径最早出现于生物信息学中，用于分析相似性搜索算法。它们也与理论物理中某些洛伦兹引力模型相关。我们首先证明，自然编码登顶路径的二元字母表语言不是上下文无关的。随后，我们聚焦于登顶路径的枚举问题。结合逐步推进的方法与核方法（kernel method），我们得到了终止于（一般）高度 $k$ 的登顶路径的生成函数的闭合形式表达式。在 $a=b$ 的情形下，由此表达式我们推导出长度为 $n$ 的登顶路径数目的渐近行为。当 $a>b$ 时，我们通过一个更简单的论证得到其渐近行为。当 $a<b$ 时，我们仅确定登顶路径数目的指数增长率。最后，我们通过多种方法研究登顶路径的一致随机生成问题。拒绝采样方法结合一个对称性论证，给出了当 $a\geq b$ 时为线性时间的算法，且无需预计算阶段或非线性存储空间。当 $a<b$ 时，最佳算法的选择并不那么明朗。一个基本的递归方法在经过涉及 $O(n^3)$ 算术运算的预计算阶段后，可得到一个线性算法，但我们也给出一些在实践中可能更为高效的替代方案。