基于 Sherali-Adams 的相关聚类

给定一个完全图 $G = (V, E)$，其中每条边被标记为 $+$ 或 $-$，相关聚类（Correlation Clustering）问题要求将 $V$ 划分为若干簇，以最小化不同簇之间的 $+$边数量加上同一簇内的 $-$边数量。相关聚类已被用于建模大量实际的聚类问题，使其成为研究最广泛的聚类形式之一。相关聚类的可近似性已被积极研究 [BBC04, CGW05, ACN08]，最终基于标准 LP 松弛的舍入得到了 $2.06$-近似算法 [CMSY15]。由于该形式的整数间隙为 2，确定是否能达到甚至突破近似因子 2 一直是一个重要的开放问题。在本文中，我们肯定地回答了该问题，证明了存在一种基于 $O(1/\epsilon^2)$ 轮 Sherali-Adams 层级的 $(1.994 + \epsilon)$-近似算法。为了对 Sherali-Adams 松弛的解进行舍入，我们采用了最初为 CSP 开发的{\em 相关舍入}（correlated rounding）[BRS11, GS11, RT12]。借助该工具，我们对相关聚类达到了 $2+\epsilon$ 的近似比。为突破该比率，我们超越了传统的基于三角形的分析，采用一种全局计费方案，将舍入的总代价分摊到不同的三角形上。