随机分批方法在异种加权相互作用粒子系统中的收敛性

我们在本工作中考虑先前工作[Jin et al., J. Comput. Phys., 400(1), 2020]中提出的随机分批方法(Random Batch Method)对于异种与加权相互作用粒子情形的收敛性。我们证明强误差为 $O(\sqrt{\tau})$，而弱误差为 $O(\tau)$，其中 $\tau$ 为两次随机分批之间的时间步长。这两类收敛性关于粒子数 $N$ 都是一致的。强收敛的证明紧密遵循[Jin et al., J. Comput. Phys., 400(1), 2020]中针对不可区分粒子的证明，但仍有一些不同：由于现在不存在可交换性，我们必须使用误差的某种加权平均；与先前工作相比，必须证明一些精细的辅助引理。为证明经验测度的弱收敛关于 $N$ 一致，我们使用了关于倒向方程导数的某些尖锐估计。该弱收敛分析也阐明了随机分批方法对于 $N$ 体 Liouville 方程的收敛性。