自适应 DIIS 算法的收敛性分析及其在电子基态计算中的应用

本文处理一类求解不动点问题的通用算法，我们称之为 Anderson–Pulay 加速。该族包括 DIIS 技术及其有时称为 commutator-DIIS 的变体（二者均由 Pulay 于 1980 年代提出以加速量子化学中自洽场过程的收敛），以及可追溯到 1960 年代的 related Anderson 加速，和它们所启发的众多技术。此类方法旨在通过组合若干迭代量以在每一步生成下一个迭代量，从而加速任意不动点迭代方法的收敛。该外推过程的特征在于其深度，即所存储的先前迭代量的数目，这是方法效率的关键参数。它通常被固定为一个经验值。在本工作中，我们考虑两种由参数驱动的机制，使深度沿迭代变化。在第一种中，深度持续增长直到某个非退化条件不再满足；然后丢弃所存储的迭代量（保留最后一个）并“重启”方法。在第二种中，我们通过每一步剔除某些最旧、最不相关的迭代量来连续地调整深度。在一个抽象且通用的设定下，我们在自然假设下证明了这两种自适应 Anderson–Pulay 方法的局部收敛性与加速性，并表明理论上各自均可达到超线性收敛速率。随后我们考察它们在量子化学计算中的行为。这些数值实验表明，两种自适应变体均比标准固定深度格式收敛更快，且平均每次迭代所需计算量更少。本研究的补充内容包含对 DIIS 已知事实的综述，特别是其与 Anderson 加速及某些多割线型拟牛顿方法的联系。