弱集合论下 Vopěnka 原理的推论

本文表明 Vopěnka 原理（VP）几乎能在它的一个弱片段上恢复整个 ZF。即，若 EST 是由外延性、空集、配对、并集、笛卡尔积、$\Delta_0$-分离以及沿 $\omega$ 的归纳诸公理组成的理论，则 ${\rm EST+VP}$ 证明无穷性、替换（从而也分离）和幂集公理。该结果受 \cite{Tz14} 中先前结果以及 H. Friedman 的 \cite{Fr05}（其中区分了 VP 的各种形式）所推动。作为一个推论，${\rm EST}+$Foundation$+{\rm VP}={\rm ZF+VP}$，且 ${\rm EST}+$Foundation$+{\rm AC+VP}={\rm ZFC+VP}$。同时表明基础公理独立于 ZF--\{Foundation\}+${\rm VP}$。选择公理是否独立于 ${\rm ZF+VP}$ 仍为开放问题。一种极弱的选择形式由 VP 推出，并引入了若干类似的其它选择形式。