稀疏蓝牙网络的连通性

考虑定义在 $d$ 维单位环面上均匀分布的 $n$ 个顶点上的随机几何图。如果两个顶点之间的距离小于“可见半径”$r_n$，则它们相连。我们考虑{\sl 蓝牙网络}，即局部稀疏化的随机几何图。每个顶点在随机几何图中随机选择 $c$ 个邻居，并仅与所选点连接。我们证明，如果可见半径至少为 $n^{-(1-\delta)/d}$ 量级（其中 $\delta > 0$），则常数 $c$ 足以使图以高概率连通。对于任意正的 $\epsilon$，只需取 $c \ge \sqrt{(1+\epsilon)/\delta} + K$，其中 $K$ 是仅依赖于 $d$ 的常数。另一方面，若 $c\le \sqrt{(1-\epsilon)/\delta}$，则图以高概率不连通。