多重保序回归及其他单调模型的置信区间

我们考虑在多重保序回归模型中构造逐点置信区间的问题。最近，[HZ19]在该模型中针对所谓的块极大极小与极小极大估计量[FLN17]获得了逐点极限分布理论，但由于极限分布中涉及真实回归函数多个未知偏导数的 nuisance 参数，推断仍是一个困难问题。本文中，我们表明可利用块极大极小与极小极大估计量中超出点估计的信息，有效消除这一困难 nuisance 参数。形式上，令 $\hat{u}(x_0)$（相应 $\hat{v}(x_0)$）为块极大极小（相应极小极大）估计量中极大化的左下（相应极小化的右上）顶点，$\hat{f}_n$ 为块极大极小与极小极大估计量的平均。若 $f_0$ 的所有（一阶）偏导数在 $x_0$ 处均非零，则如下枢轴极限分布理论成立：$$\sqrt{n_{\hat{u},\hat{v}}(x_0)}\big(\hat{f}_n(x_0)-f_0(x_0)\big)\rightsquigarrow \sigma\cdot \mathbb{L}_{1_d}.$$ 此处 $n_{\hat{u},\hat{v}}(x_0)$ 为块 $[\hat{u}(x_0),\hat{v}(x_0)]$ 中的设计点数量，$\sigma$ 为误差标准差，$\mathbb{L}_{1_d}$ 为无 nuisance 参数的普适极限分布。这立即给出 $f_0(x_0)$ 具有渐近精确置信水平与 oracle 长度的置信区间。值得注意的是，该置信区间的构造即使在单变量情形下也是新颖的，其所需工作量不超过使用块极大极小与极小极大估计量执行一次保序回归，并可轻易适配其他常见单调模型。我们进行了大量模拟以支持我们的理论。