两组分玻色-爱因斯坦凝聚体的 Bogoliubov-de Gennes 激发态计算

本文提出了一种高效且谱精确的数值方法，用于计算两组分玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）在其平均场基态附近的初等/集体激发态，通过求解相应的 Bogoliubov-de Gennes（BdG）方程。BdG 方程本质上是一个非厄米微分算子的特征值问题，并带有特征函数归一化约束。首先，我们研究其解析性质，包括精确特征对、广义零空间结构以及特征空间的双正交性。随后，通过结合傅里叶谱方法进行空间离散化和稳定的修正 Gram-Schmidt 双正交算法，我们为所得的大规模稠密非厄米离散特征值问题提出了一种结构保持的迭代方法。我们的方法是无矩阵的，且矩阵-向量乘法（或算子函数求值）以近最优复杂度 ${\mathcal O}(N_{\rm t}\log(N_{\rm t}))$ 实现，其中 $N_{\rm t}$ 为网格点总数，这得益于离散快速傅里叶变换（FFT）的利用。因此，该方法内存友好、谱精确且高效。最后，我们进行了全面的数值验证以展示其在精度和效率方面的优越性，并给出了一些在一维、二维和三维问题中计算激发谱和 Bogoliubov 振幅的应用。