基于随机点投影的计算：K-平凡度子理想的稠密层次结构

我们研究可从某个(Martin-Löf)随机序列的两半部分计算出的集合，称之为\emph{$1/2$-基}。我们证明这类集合的全体在图灵度中构成一个由其c.e.元素生成的理想。它是$K$-平凡集合的一个真子理想。我们将$1/2$-基刻画为可从Chaitin的$\Omega$的两半部分计算出的集合，以及服从代价函数$\mathbf c(x,s) = \sqrt{\Omega_s - \Omega_x}$的集合。将这些结果推广得到了$K$-平凡度中一个稠密的子理想层次：对于$k< n$，令$B_{k/n}$为这样的集合的全体，它们低于某个随机序列的$n$列中的任意$k$列。如前所述，这是一个由其c.e.元素生成的理想，且定义中的随机序列总可取为$\Omega$。此外，相应的代价函数刻画表明，$B_{k/n}$独立于有理数$k/n$的特定表示，并且对于有理数$p< q$有$B_p$真包含于$B_q$。这些结果通过使用Loomis--Whitney不等式的推广证明，该不等式根据开集的投影的测度来界定开集的测度。这种一般性使我们能够分析任意的正交投影族。结果表明，这些并没有给出$K$-平凡集合的新的子理想，我们可以从该族计算出它刻画的是哪个$B_p$。最后我们证明，对于$p<1$的$B_p$的并是从随机中鲁棒可计算的集合的全体，这是由Hirschfeldt, Jockusch, Kuyper, 和 Schupp 先前研究过的一个类。