计算最优传输

最优传输(OT)理论可以用法国数学家 Gaspard Monge (1746-1818) 的话来非正式地描述：一名手持铁铲的工人必须挪动建筑工地上的一堆沙子。工人的目标是用所有这些沙子堆出具有规定形状的目标沙堆（例如一座巨大的沙堡）。自然地，工人希望最小化其总工作量，例如量化为搬运每铲沙所走的总距离或花费的总时间。对 OT 感兴趣的数学家将这一问题表述为比较两个概率分布，即两堆体积相同的不同沙堆。他们考虑将第一堆沙变形、传输或重塑为第二堆沙的诸多可能方式，并基于“局部”考量（即移动一粒沙从一处到另一处的代价）为每一种此类传输赋予一个“全局”代价。近年来，由于能够扩展到与数据科学相关的规模和维度的近似求解器的出现，OT 已在多个领域传播开来。得益于这种新近的可扩展性，OT 正越来越多地用于解决成像科学（如颜色或纹理处理）、计算机视觉与图形学（如形状操控）或机器学习（如回归、分类与密度拟合）中的各类问题。这本小书回顾了 OT，偏重于数值方法及其在数据科学中的应用，并阐明了使 OT 对某些应用特别有用的理论性质。