Mathieu 函数的计算与应用：历史视角

周期为 $\pi$ 或 $2\pi$ 的 Mathieu 函数，亦称椭圆柱函数，由 \'Emile Mathieu 于 1868 年与所谓的修正 Mathieu 函数一起提出，以帮助理解固定在椭圆环中的弹性膜的振动。这些函数如今仍频繁出现于应用中：例如，我们的兴趣是由血管被压缩成椭圆横截面时的脉动血流问题所激发的。本文综述并重述了 Mathieu 函数与修正 Mathieu 函数的理论及计算方法的历史发展，并指出了当前软件能力中的一些空白，特别是与 Mathieu 方程的双重特征值有关的问题。我们展示了如何计算 Mathieu 特征值关于此类双重特征值的 Puiseux 展开，并给出计算其中出现的广义特征函数的方法。在考察 Mathieu 的原始贡献时，我们指出他对反久期性的使用早于 Lindstedt。出于兴趣，我们还提供了 Mathieu 函数历史上几位主要数学研究者的简短传记：\'Emile Mathieu、Sir Edmund Whittaker、Edward Ince 和 Gertrude Blanch。