稀疏多项式求解的复杂度：环簇上的同伦与条件度量

本文研究了通过同伦延拓求解稀疏多项式方程组的代价。首先，通过$n$个单项基指定了$n$元多项式方程组的空间。这些方程组的根的自然轨迹已知为某个环簇。该簇是$(\mathbb C\setminus\{0\})^n$的紧化，依赖于单项基。在该环簇上定义了环簇牛顿算子。斯梅尔的α理论被推广以提供二次收敛的判据。定义了两个条件数，并在该设定下获得了高阶导数估计。牛顿算子与相关的条件数在对应于动量映射的群作用下保持不变。给出了一个同伦算法，并证明其在牛顿步数上终止，该步数与提升同伦路径的条件长度呈线性关系。这推广了Shub (2009)的结果。