ENZ材料中介电常数复解析依赖性:光子掺杂实例

受关于由"epsilon-near-zero"(ENZ,近零介电常数)材料构成的散射体之"光子掺杂"的物理文献启发,我们考虑由柱形ENZ区域$\Omega \times \mathbb{R}$对时谐TM电磁波的散射如何受到"掺杂剂"$D \subset \Omega$的影响,其中掺杂剂内的介电常数不接近零。在数学上,这归结为分析二维Helmholtz方程$\mathrm{div}\, (a(x)\nabla u) + k^2 u = f$,其具有分段常数、复值系数$a$,在$\Omega \setminus \bar{D}$中该系数近乎无穷大(设$a = \frac{1}{\delta}$且$\delta \approx 0$)。我们证明(在适当假设下)解$u$在$0$附近解析依赖于$\delta$,并给出其Taylor展开中各项的一个简单PDE刻画。对于光子掺杂的应用,最有趣的是$\delta$中的一阶修正:它们解释了为何光子掺杂仅受损耗存在的轻微影响,以及为何即便在介电常数仅很小的频率下也能观察到该现象。同样重要地:我们的结果包含当$\delta \to 0$时ENZ区域中一阶电场的PDE刻画,而现有光子掺杂文献仅提供了一阶磁场。