开莱树上紧束缚模型的完全解：强局域态与扩展态

我们推导了分支数 $b=2$、具有开放边界条件的 $M$ 个分支代数的开莱树上最近邻紧束缚模型的本征态和本征值的完整集合。我们发现，在总计 $N= 1 +3 (2^M-1)$ 个态中，仅有 $3 M +1$ 个态是在整个开莱树上扩展的。其余 $N-(3 M+1)$ 个态为强局域态，其有限振幅仅存在于站点的一个子集上。特别地，对于 $M>1$，存在 $3 \times 2^{M-2}$ 个表面态，它们各自仅为开莱树表面上两个站点的反对称组合，且能量精确位于 $E=0$（能带中央）。我们发现，对于所有 $M$，开莱树的基态和前两个激发态均为扩展态，在开莱树的所有站点上具有振幅。我们利用本征态和本征值的完整集合结果推导了总态密度和局域态密度。