当消息更新稀疏时更新线性函数的通信代价：与最大可恢复码的联系

我们考虑一个通信问题，其中源消息的更新需要传递给一个或多个遥远的接收者，这些接收者希望维护源消息的特定线性函数。该场景的特点是更新本质上是稀疏的，且源和接收者均不知道确切的差分向量，仅知道差分向量中存在的稀疏程度。在此设置下，我们致力于设计使所涉通信代价最小的线性编码与解码方案。我们表明，该问题的最优解与最大可恢复码（MRCs）的概念密切相关，后者最初是在存储系统编码的背景下引入的。在存储背景下，当系统部分约束为在存储节点间具有局部奇偶校验关系时，MRCs 保证最优的纠删保护。在我们的问题中，我们证明最优解存在当且仅当某种（由所需线性函数确定的）MRCs 存在。我们考虑了该问题的点对点与广播版本，并在这两种设置下均建立了与 MRCs 的联系。对于点对点设置，我们表明基于线性编码器的可达方案即使允许非线性编码也是最优的。该理论在更新纠删码存储节点的背景下进行了阐释。我们给出了基于现代存储码（如最小带宽再生码）的示例。