小域上用于更新线性函数的码

我们考虑一个点对点通信场景，其中接收端维护有限域上消息向量的某个特定线性函数。当消息向量的值经历稀疏更新时，发送端广播修改后消息的编码版本，而接收端利用该码字与线性函数的当前值来更新其内容。假设发送端可访问修改后的消息但不知道原始消息与修改后消息之间的确切差向量。在差向量稀疏且其汉明重量至多为已知常数的假设下，目标是设计一个码长尽可能小的线性码，以允许在接收端成功更新线性函数。该问题受分布式数据存储系统应用的推动。近来，Prakash 与 Medard 推导了码长的下界，该下界独立于底层有限域的大小，并给出了当有限域大小足够大时达到此界的构造。然而，这一对域大小的要求即便对于中等系统参数值也可能过高。本文中，我们给出函数更新问题的域大小感知分析，包括更紧的码长下界，并设计在码长与更小域大小要求之间权衡的码。我们首先刻画了线性编码相比朴素传输方案能提供码长缩减的函数更新问题族。然后我们给出最优码长的域大小依赖界，并针对接收端维护条带消息向量的线性函数构造编码方案。最后，我们证明每个函数更新问题都等价于一个广义索引编码问题。