分类 KP 与 KP(P) 的可证全集合函数
逻辑
2016-10-10 v1
摘要
本文致力于分类 Kripke-Platek 集合论 KP 与幂集 Kripke-Platek 集合论 KP(P) 的可证全集合函数，并证明若干（部分）保守性结果。本文使用的主要技术工具是一种相对化技术，其中序数分析是相对于一个任意但固定的集合 x 进行的。序数分析的一个经典结果是借助快速增长层级 [10] 刻画 Peano 算术 PA 的可证递归函数。虽然可以在 KP 中表述自然数，但该理论主要讨论集合。因此，我们希望获得其可证全集合函数的刻画。我们将证明，KP 证明一个集合函数的全性，当且仅当该函数落入一个基于相对化可构造层级的集合函数层级中，该层级的长度可延伸至 Bachmann-Howard 序数以下的任何序数。作为该结果的一个推论，我们得到 IKP + ∀x,y (x ∈ y ∨ x ∉ y) 对于 ∀∃-公式在 KP 上是保守的，其中 IKP 代表直觉主义 Kripke-Platek 集合论。类似地，利用 [56]，我们证明 KP(P) 证明一个集合函数的全性，当且仅当该函数落入一个基于相同长度的相对化 von Neumann 层级的集合函数层级中。将相对化技术应用于带有全局选择公理 AC-global 的 KP(P)，也得到了 [58] 中一个结果的参数化扩展，表明 KP(P) + AC-global 对于幂集陈述中的 Π₂ 公式在 KP(P) + AC 和 CZF + AC 上是保守的。这里 AC 代表普通选择公理，CZF 指构造性 Zermelo-Fraenkel 集合论。
引用
@article{arxiv.1610.02194,
title = {Classifying the provably total set functions of KP and KP(P)},
author = {Jacob Cook and Michael Rathjen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1610.02194},
year = {2016}
}
备注
60 pages