高雷诺数各向同性湍流中的环量是一个双分形

在标度指数层面上的湍流问题之所以困难，部分原因在于小尺度的多重分形标度，这要求每个矩阶都独立地处理和理解。这一结论源于对速度结构函数、能量耗散、涡量密度（即涡度的平方）等的研究。然而，很可能存在其他在惯性区内结构不复杂的物理相关量，从而可能带来湍流理论的巨大简化。我们表明绕闭合回路的速度环量就是这样一个量。通过使用由各雷诺数范围内 Navier-Stokes 方程数值模拟生成的大型各向同性湍流数据库，我们表明在所考虑的最高雷诺数下环量表现出双分形行为：对不超过 $3$ 阶的矩是空间填充的，而对更高阶则是一个维数约为 $2.5$ 且不变的单调分形；这种大约在三阶矩处的特性变化让人联想到“相变”。我们探讨了这样一种可能性，即尽管环量在技术上可视为双分形，但在更高雷诺数下它实际上变得空间填充。我们确认环量性质仅依赖于回路的面积而非其形状；并且，对于 8 字形回路，相关面积是回路两段的标量之和。