用于多目标优化与训练 PINN 的基于切比雪夫中心的方向选择

物理信息神经网络 是求解偏微分方程 的一种有前景的方法。然而，它们的训练通常很困难，因为必须同时优化由 PDE 残差和边界或初始条件引起的多个损失项。为了解决这一困难，现有方法通常通过显式强制执行特定的期望属性（如尺度鲁棒性和同时下降）来构造更新方向。虽然在许多情况下有效，但这种逐属性的设计可能使人不清楚哪些条件是必不可少的、什么几何原理决定了所选的更新方向，以及不同方法在结构上有何关联。在本工作中，我们将 PINN 训练的更新方向选择表述为对偶锥中的切比雪夫中心问题。所提出的表述选择一个使到锥面的最小距离最大化的归一化方向。由此产生的表述在低维空间中存在一个高效的对偶问题，并在非凸环境下提供收敛保证。它也恢复了现有方法所针对的关键期望属性，而无需单独施加它们；相反，它们源于该表述所基于的单一几何准则。这使得所选方向可通过单一几何规则进行解释，并为系统比较相关的方向选择方法提供了统一基础。在几个 PINN 基准上的实验进一步证明了所提方法强大的经验性能。