基于单元平均的神经网络方法求解双曲与抛物型偏微分方程
数值分析
2021-07-05 v1 机器学习
数值分析
摘要
受有限体积格式启发，本文提出一种基于单元平均的神经网络方法。该方法基于偏微分方程的积分或弱形式表述。一个简单的前馈网络被强制学习相邻两个时间步之间解的平均值演化。通过离线监督训练获得最优网络参数集，该参数集唯一确定一种类有限体积的神经网络方法。一旦训练良好，该网络方法作为有限体积格式实现，因此依赖于网格。不同于传统数值方法，我们的方法可摆脱显式格式的CFL限制，并能适应任意时间步长进行解演化。对于热方程，观察到一阶收敛，误差与空间网格尺寸相关，但观察到与时间网格尺寸无关。基于单元平均的神经网络方法能以几乎零数值扩散锐利演化接触间断。对于非线性双曲型守恒律，激波与稀疏波均被良好捕捉。
引用
@article{arxiv.2107.00813,
title = {Cell-average based neural network method for hyperbolic and parabolic partial differential equations},
author = {Changxin Qiu and Jue Yan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.00813},
year = {2021}
}