顺序校准的 $T^{2/3}$ 界限突破

一组概率性预测若要经过校准，需在该预测所作出的时刻子集上，其预测值与结果的经验分布密切接近。我们研究在线校准预测二元序列的基本问题，这一问题最初由 Foster & Vohra (1998) 进行研究。他们推导出在 T 个时间步后具有 $O(T^{2/3})$ 校准误差的算法，并证明了下界为 $\Omega(T^{1/2})$。这些界限停滞了两十年，直到 Qiao & Valiant (2021) 通过引入称为符号保持的组合游戏，提高了下界至 $\Omega(T^{0.528})$，并指出该游戏的下界意味着校准的下界。本文首次改进 Foster & Vohra 的 $O(T^{2/3})$ 上界。我们提出了 Qiao & Valiant 游戏的一个变体，称为符号保持可复用（SPR）。我们证明了 SPR 与校准预测之间的关系是双向的：不仅是 SPR 的下界转化为校准的下界，更有算法解决 SPR 也转化为校准算法。随后，我们给出 SPR 游戏的改进上界，从而通过我们的等价性，导出一个校准误差为 $O(T^{2/3 - \varepsilon})$（其中 $\varepsilon > 0$）的预测算法，首次改进了 Foster & Vohra 的上界。使用类似思想，我们进一步证明了一个略强于 Qiao & Valiant 下界的结果，即 $\Omega(T^{0.54389})$。我们的下界来自一个不记忆性对手，标志着首个 $\omega(T^{1/2})$ 的不记忆性校准下界。