通过 Lovász theta 数及其变体界定纠缠辅助信源 - 信道编码

我们研究了零误差纠缠辅助信源 - 信道编码（存在边信息时的通信）。借鉴 Beigi 的技术，我们表明此类编码需要存在一组满足与适当定义的图 $G$ 和 $H$ 相关的正交条件的向量。当且仅当 $\vartheta(\overline{G}) \le \vartheta(\overline{H})$ 时，此类向量存在，其中 $\vartheta$ 代表 Lovász 数。我们还获得了相关的 Schrijver $\vartheta^-$ 数和 Szegedy $\vartheta^+$ 数的类似不等式。这些不等式重现了几个已知界限并导出了新结果。我们提供了纠缠辅助成本率的下界。我们证明了纠缠辅助独立数受 Schrijver 数界定：$\alpha^*(G) \le \vartheta^-(G)$。因此，我们能够驳斥单次纠缠辅助零误差容量等于 Lovász 数整数部分的猜想。Beigi 引入了量 $\beta$ 作为 $\alpha^*$ 的上界，并提出问题：是否 $\beta(G) = \lfloor \vartheta(G) \rfloor$。我们对此给出了肯定回答，并证明相关量等于 $\lceil \vartheta(G) \rceil$。我们证明了最近在 Tsirelson 猜想背景下引入的量 $\chi_{\textrm{vect}}(G)$ 等于 $\lceil \vartheta^+(\overline{G}) \rceil$。在附录中，我们研究了 Schrijver 数和 Szegedy 数以及投影秩的乘性性质。