肥皂膜运动产生的边界奇点

最近的研究表明，通过变形其框架而变得不稳定的 M"obius 带肥皂膜会通过“颈缩”边界奇点将其拓扑结构改变为圆盘。这种行为不同于悬链面，后者通过体奇点过渡到两个圆盘。目前尚不清楚奇点类型是否通常是表面拓扑的结果，也不清楚这种依赖性如何从表面的运动方程中产生。为了解决这些问题，我们从实验、计算和理论上研究了具有不同拓扑结构的肥皂膜（包括一族穿孔 Klein 瓶）通向奇点的路径。我们表明，奇点的位置（体奇点或边界奇点）可能取决于边界变形的路径。在不稳定区域中，肥皂膜运动的驱动力是平均曲率。因此，颈部的最窄部分（与表面的最短非平凡闭测地线相关）具有最高的曲率且运动最快。在不稳定性发生之前，稳定表面上存在一条最短闭测地线，它是颈部测地线演化的初始条件，所有这些测地线与框架具有相同的拓扑关系。我们提出合理的猜想：如果初始测地线与边界相连，则奇点将发生在边界处；而如果两者最初未相连，则奇点将发生在体内。平均曲率流的数值研究和实验支持了这些猜想。