Margolus-Levitin 量子速度极限界的 $\boldsymbol{\alpha_{>}(\epsilon) = \alpha_{<}(\epsilon)}$

Margolus-Levitin (ML) 界表明，对于任何不含时 Hamiltonian，从一个量子态演化到另一个量子态所需的时间至少为 $\pi \alpha(\epsilon) / (2 \langle E-E_0 \rangle)$，其中 $\langle E-E_0 \rangle$ 是系统相对于 Hamiltonian 基态的期望能量，$\alpha(\epsilon)$ 是两态间保真度 $\epsilon$ 的函数。长期以来，仅已知上界 $\alpha_{>}(\epsilon)$ 和下界 $\alpha_{<}(\epsilon)$，尽管它们至少在七位有效数字上是一致的。最近，Hörnedal 和 Sönnerborn 证明了 $\alpha(\epsilon)$ 的解析表达式，对演化时间饱和 ML 界的系统进行了完整分类，并给出了该界的辛几何解释。在此，我通过 ML 界的初等证明解决了同一问题。通过显式找出所有饱和 ML 界的态，我证明了 $\alpha_{>}(\epsilon)$ 确实等于 $\alpha_{<}(\epsilon)$。更重要的是，我指出了计算 $\alpha_{>}(\epsilon)$ 时的数值稳定性问题，并报告了一种高效且准确计算它的简单方法。