双连通性、$st$-编号及深度优先搜索的其他应用——仅用 $O(n)$ 比特

我们考虑深度优先搜索（DFS）若干经典应用的空间高效实现，包括测试双连通性和 $2$-边连通性、寻找割点和割边、计算链分解以及对给定 $n$ 个顶点 $m$ 条边的无向图 $G$ 进行 $st$-编号。这些问题的经典算法通常使用 DFS，并在每个顶点处存储 $\Omega (\lg n)$ 比特的信息。基于 Elmasry 等人（STACS 2015）最近提出的 $O(n)$ 比特 DFS 实现，我们为 DFS 的所有这些应用提供了 $O(n)$ 比特的实现。对于某个小常数 $c$（其中 $c \leq 2$），我们的算法耗时 $O(m \lg^c n \lg\lg n)$。我们实现的核心在于 DFS 树的简洁表示，以及将 DFS 树空间高效地划分为连通子树的方法，这些方法可能对设计其他空间高效的图算法具有独立的研究价值。