长记忆高斯时间序列谱密度的贝叶斯非参数估计

设 $\mathbf {X}=\{X_t, t=1,2,... \}$ 为平稳高斯随机过程，均值为 $EX_t=\mu$，协方差函数为 $\gamma(\tau)=E(X_t-\mu)(X_{t+\tau}-\mu)$。设 $f(\lambda)$ 为相应的谱密度；如果谱密度 $f(\lambda)$ 可以写成慢变函数 $\tilde{f}(\lambda)$ 与量 $\lambda ^{-2d}$ 的乘积，则该平稳高斯过程被称为具有长程依赖性。在本文中，我们提出了一种新颖的贝叶斯非参数方法来估计 $\mathbf {X}$ 的谱密度。我们证明，在对先验分布的某些特定假设下，无论当 $f(\cdot)$ 和 $d$ 作为关注对象时，我们的方法都能保证后验一致性。后验序列的收敛速率在很大程度上取决于先验的结构；我们提供了一些一般性结果，并考虑了分数指数 (FEXP) 先验族（见下文）。由于在长记忆设定中缺乏充分的理论依据，我们避免使用对似然函数的 Whittle 近似，而倾向于使用真实的高斯似然。