高斯函数的 B 样条逼近、其 Gabor 框性质与近似对偶框架

我们证明了由特定缩放 B 样条生成的 Gabor 系统可以被视为由高斯函数生成的 Gabor 系统的扰动,且只要 B 样条的阶数 $N$ 足够大,其偏差可处于任意小的容差范围内。作为推论,我们证明了对于任意满足 $ab<1$ 的平移/调制参数 $a,b>0$,当 $N$ 足够大时,$B_N$ 的缩放版本均能生成 Gabor 框架。考虑由高斯函数和对偶窗口生成的 Gabor 框架分解,当高斯函数被缩放 B 样条替代,或当高斯函数的对偶窗口被某些显式给出且紧支撑的 B 样条线性组合替代时,这些结果给出了由此产生的偏离完美重建的估计。特别地,这导出了一族形式非常简单的近似对偶窗口,只要乘积 $ab$ 足够小,即可在任何期望的误差容差内实现“几乎完美重建”。相比之下,已知的(精确)对偶窗口形式非常复杂。当将缩放 B 样条替换为高斯函数的特定截断时,我们概述了类似的分析。作为该方法的一个推论,我们证明了所考虑的缩放 B 样条在 $L^p$ 空间中向高斯函数收敛的(大多是已知的)收敛结果,这在时域和频域均成立。