利用图神经网络自动发现有限体积格式
机器学习
2025-08-27 v1 计算物理
摘要
图神经网络（GNNs）通过展示其在逼近物理系统解方面的强大能力，深刻地改变了数值模拟的格局。然而，它们在其训练域之外进行外推的能力（例如，更大或结构不同的图）仍然不确定。在这项工作中，我们证实 GNN 可以服务于其传统角色之外的目的，并与符号回归结合，被用来生成数值格式。首先，我们从数值和理论上证明，一个仅在由双节点图组成的数据集上训练的 GNN 可以外推出热方程的一阶有限体积（FV）格式，适用于分布外、非结构化的网格。具体来说，如果 GNN 在这样的数据集上实现了损失 ε，那么它实现 FV 格式的误差为 O(ε)。通过使用符号回归，我们表明该网络有效地重新发现了标准一阶 FV 格式的精确解析公式。然后，我们将此方法扩展到无监督环境：GNN 仅使用类似于物理信息神经网络（PINNs）的残差损失，在没有访问真实数据的情况下恢复了一阶 FV 格式。最后，我们通过考虑高阶格式进一步推进该方法：我们使用相同的 PINN 损失训练了 (i) 一个 2-hop 和 (ii) 一个 2 层 GNN，它们自主地发现了 (i) 使用 2-hop 模板对初始格式的二阶修正项，以及 (ii) 经典的二阶中点格式。这些发现遵循了科学计算中最近的一个范式：GNN 不仅是强大的逼近器，而且可以成为开发新型数值方法的积极贡献者。
引用
@article{arxiv.2508.19052,
title = {Automated discovery of finite volume schemes using Graph Neural Networks},
author = {Paul Garnier and Jonathan Viquerat and Elie Hachem},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.19052},
year = {2025}
}