单条含噪轨迹下 $\ell_1$ 正则化 PDE 辨识的渐近理论

我们证明了利用 $\ell_1$ 正则化伪最小二乘模型($\ell_1$-PsLS)，从单条含噪轨迹辨识一类广义线性与非线性演化偏微分方程(PDE)的支撑恢复。在由有限个含未知 PDE 算子的微分算子生成的任意结合 $\mathbb{R}$-代数中，将 $\ell_1$-PsLS 应用于给定数据集会得到一族系数为 $\mathbf{c}(\lambda)$ 的候选模型，其由正则化权重 $\lambda\geq 0$ 参数化。由于数据噪声与有限差分近似误差，$\{\mathbf{c}(\lambda)\}_{\lambda\geq 0}$ 的迹表现出高方差。我们给出一组充分条件，保证对经局部多项式(Local-Polynomial)滤波器去噪的单条轨迹数据，在数据量充分大且 $\lambda$ 取某一范围时，$\mathbf{c}(\lambda)$ 的支撑渐近收敛于底层 PDE 对应的真实带符号支撑。我们还展示了多种数值实验以验证理论。