度量图上含无穷长边的局部与非局部演化方程的渐近行为

我们研究度量连通有限图上的局部（热方程）与非局部（具有可积核的卷积型问题）演化问题，其中某些边具有无穷长度。我们证明局部与非局部问题解的渐近行为均由热方程的解给出，但在一个星形图上，该星形图只有一个节点且无穷长边的数目与原图相同。由此我们得到，当考察解的渐近行为时，由所有顶点与所有有限长边组成的紧致部分可化为一个点。对于这个星形极限问题，解的渐近行为恰由半直线上热方程的解给出，该半直线在 $x = 0$ 处具有 Neumann 边界条件，初值为 $(2M/N)\delta_{x=0}$，其中 $M$ 是原问题初值的总质量，$N$ 是无穷长边的数目。此外，我们证明当重新标度核时，非局部问题的解收敛到热方程（局部问题）的解，即我们得到了一个弛豫极限。