ARCS：精确的旋转与对应搜索

本文研究更一般形式的经典 Wahba 问题，我们称之为“同时旋转与对应搜索”。在该推广问题中，我们需要找到一个旋转，使两个部分重叠的 $3$D 点集最佳对齐，其大小分别为 $m$ 和 $n$，且 $m\geq n$。我们首先提出一个求解器 $\texttt{ARCS}$，它 i) 假设处于一般位置的无噪声点集，ii) 仅需 $2$ 个内点，iii) 使用 $O(m\log m)$ 时间和 $O(m)$ 空间，且 iv) 即使对于例如 $m,n\approx 10^6$ 的情况，也能在约 $0.1$ 秒内成功求解。我们随后将 $\texttt{ARCS}$ 鲁棒化以应对噪声，其中我们利用鲁棒子空间学习和区间穿刺的思想近似求解一致最大化问题。第三，我们通过单位四元数空间上的黎曼次梯度下降方法精炼近似找到的一致集，我们证明该方法在 $O(\varepsilon^{-4})$ 次迭代内全局收敛到 $\varepsilon$-驻点，或在无噪声时以线性速率局部收敛到真实值。我们将这些算法组合为 $\texttt{ARCS+}$，以同时搜索旋转与对应。实验表明，$\texttt{ARCS+}$ 在包含超过 $10^6$ 个点的大规模数据集上取得了最先进的性能，相比替代方法实现了 $10^4$ 倍的时间加速。\url{https://github.com/liangzu/ARCS}