通过牛顿法修正神经网络近似实现任意高阶隐式常微分方程积分
数值分析
2022-03-02 v1 数值分析
计算物理
摘要
作为一种通用逼近方法，深度神经网络（DNNs）能够在仅给出恰当表述的数学系统与目标函数等少量约束下找到问题的近似解。因此，DNNs 在应用上比经典数值方法具有相当大的灵活性。另一方面，它们对所求解的数学解提供了不受控的近似。这表明将经典数值方法与基于 DNN 的近似相混合是一种可取思路。本工作中，受物理信息神经网络（PINNs）方法启发而构建的基于 DNN 的逼近器，为非线性常微分方程组（即 Lorenz 系统）的非常高阶隐式 Runge-Kutta（IRK）积分的牛顿法迭代提供初值猜测。在通常方法中，需要许多显式时间步来为隐式系统的非线性求解器提供猜测，所需计算量足以使 IRK 方法不可行。本工作描述的基于 DNN 的方法使得能够采取大的隐式时间步以达到任意期望精度，其工作量仅相当于将 DNN 解收敛到百分之几精度内。本工作还推导了任意求积阶数下 IRK 方法矩阵元素的一般公式。
引用
@article{arxiv.2203.00147,
title = {Arbitrarily high order implicit ODE integration by correcting a neural network approximation with Newton's method},
author = {D. W. Crews},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.00147},
year = {2022}
}