大规模近似消没理想计算

点集 $X = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}\subseteq \mathbb{R}^n$ 的消没理想是在所有点 $\mathbf{x} \in X$ 上取值为 $0$ 的多项式集合，并容许由有限生成元子集高效表示。在实践中，为容纳数据中的噪声，构造近似消没理想生成元的算法被广泛研究，但其计算复杂度仍然很高。本文中，我们将预言近似消没理想算法（OAVI）——唯一具有已知学习保证的生成元构造算法——进行规模化。我们证明 OAVI 的计算复杂度并非如先前声称的超线性，而是关于样本数 $m$ 线性的。此外，我们提出两种加速 OAVI 训练时间的修改：我们的分析表明，将 OAVI 中使用的求解器之一——两两条件梯度算法——替换为更快的混合两两条件梯度算法，可在特征数 $n$ 上带来指数级加速。最后，利用一种新的逆 Hessian 提升方法，中间凸优化问题可近乎瞬时求解，在多种数值实验中将 OAVI 的训练时间提升多个数量级。