$p$-adic 分析方法在描述可等距嵌入 $\mathbb{Q}_{p}$ 的超度量空间上马尔可夫过程的应用

我们提出了一种描述超度量空间类 $\mathbb{U}$ 上平稳马尔可夫过程的方法，该类空间可等距嵌入到 $p$-adic 数域 $\mathbb{Q}_{p}$ 中。该方法能够将对这类过程的研究简化为对 $\mathbb{Q}_{p}$ 上过程的研究。从而，可以应用 $p$-adic 数学物理的传统机制来计算此类空间上平稳马尔可夫过程的特征。文中表明，此类空间上平稳马尔可夫过程的 Kolmogorov-Feller 方程的柯西问题，可归约为 $\mathbb{Q}_{p}$ 上具有非平移不变测度 $m\left(x\right)d_{p}x$ 的伪微分方程的柯西问题。求得了具有测度 $m\left(x\right)d_{p}x$ 的 $\mathbb{Q}_{p}$ 上 Kolmogorov-Feller 方程伪微分算子的谱。利用该算子的本征函数，构建了 $L^{2}\left(\mathbb{Q}_{p},m\left(x\right)d_{p}x\right)$ 的实值函数正交基。