苹果品尝：组合维度与极小极大速率

在\emph{苹果品尝}（apple tasting）反馈下的在线二分类中，学习器仅在其预测为“1”时才能观测到真实标签。由\cite{helmbold2000apple}首次研究，我们重新审视这一经典的部分反馈设定，并从组合视角研究在线可学习性。我们证明Littlestone维度在不可知设定下继续为苹果品尝提供紧致的量化刻画，从而解决了\cite{helmbold2000apple}提出的一个开放问题。此外，我们给出了一个新的组合参数，称为有效宽度（Effective width），它紧致地量化了可实现设定下的极小极大期望错误数。作为推论，我们利用有效宽度建立了可实现设定下极小极大期望错误数的\emph{三分法}（trichotomy）。特别地，我们证明在可实现设定下，任何学习器在苹果品尝反馈下的期望错误数可为$\Theta(1)$、$\Theta(\sqrt{T})$或$\Theta(T)$。这与全信息可实现设定形成对比，后者仅可能出现$\Theta(1)$与$\Theta(T)$。