$\alpha$-shearlets 的分析稀疏性与合成稀疏性

与框架 $\Psi=(\psi_i)_{i\in I}$ 相关的稀疏性有两种概念：$f$ 的分析稀疏性是指分析系数 $(\langle f,\psi_i\rangle)_i$ 稀疏，而合成稀疏性是指 $f=\sum_i c_i\psi_i$ 且系数 $(c_i)_i$ 稀疏。此处，$c=(c_i)_i$ 的稀疏性是指对给定 $p<2$ 有 $c\in\ell^p(I)$。我们证明，若 $\Psi={\rm SH}(\varphi,\psi;\delta)$ 是一个具有“良好”生成元 $\varphi,\psi$ 且采样密度 $\delta>0$ 足够细的离散（锥适应）shearlet 框架，则这两种稀疏性概念重合。所需的“良好性”通过傅里叶衰减与消失矩条件被显式量化。确切地说，我们证明合适的 shearlet 系统同时为 Labate 等人引入的 shearlet 光滑空间 $\mathscr{S}_s^{p,q}$ 提供 Banach 框架与原子分解。因此，属于 $\mathscr{S}_s^{p,q}$ 同时等价于关于该 shearlet 框架的分析稀疏性与合成稀疏性。作为一个应用，我们证明 shearlets 对卡通类函数 $f$ 给出（几乎）最优逼近率：若 $\epsilon>0$，则 $\Vert f-f_N\Vert_{L^2}\lesssim N^{-(1-\epsilon)}$，其中 $f_N$ 是 $N$ 个 shearlets 的线性组合。这看似众所周知，但现有证明仅针对 $\Psi$ 的对偶 $\tilde{\Psi}$ 确立了该逼近率，而非针对 $\Psi$ 本身。这并不令人完全满意，因为 $\tilde{\Psi}$ 的性质（衰减、光滑性等）在很大程度上未知。我们还考虑了 $\alpha$-shearlet 系统。对此，shearlet 光滑空间须由 $\alpha$-shearlet 光滑空间替代。我们完全刻画了这些空间之间的嵌入关系，从而能够判定关于 $\alpha_1$-shearlets 的稀疏性是否蕴含关于 $\alpha_2$-shearlets 的稀疏性。