一种在快速冷却下收敛的改进型模拟退火变体

给定有限状态空间 $\mathcal{X}$ 上待最小化的目标函数 $U$、具有生成元 $Q$ 的提议链以及依赖于时间 $t$ 的冷却 schedule $T(t)$，本文分别研究了具有生成元 $M_{1,t}(Q,U,T(t))$ 和 $M_{2,t}(Q,U,T(t))$ 的两类模拟退火（SA）算法。其中 $M_{1,t}$ 为经典 SA 算法，我们引入一种简单且改进的变体 $M_{2,t}$，其可证明收敛更快。当 $T(t) > c_{M_2}/\log(t+1)$ 遵循对数冷却 schedule 时，我们所提算法在总变差与相对熵下均为强遍历，并收敛至全局最小值集合，其中 $c_{M_2}$ 是我们显式确定的常数。若 $c_{M_1}$ 为 $M_{1,t}$ 对数冷却中出现的最优爬山常数，我们证明 $c_{M_1} \geq c_{M_2}$，并给出 $c_{M_1} > c_{M_2}$ 成立的简单条件。因此，我们所提 $M_{2,t}$ 在该情形下以更快的对数冷却收敛。我们考察的另一情形对应 $c_{M_1} > c_{M_2} = 0$，其中我们给出一类对 $M_{2,t}$（而非 $M_{1,t}$）有效的快速非对数冷却 schedule。除这些渐近收敛结果外，我们还对这两种退火算法的有限时间行为进行了比较与分析。最后，我们给出两种模拟 $M_{2,t}$ 的算法。