通过有效限制改进通用关系与大多数函数的复合定理

近来，Ivan Mihajlin 与 Alexander Smal 通过所谓的 xor 复合证明了通用关系与某函数的复合定理，即存在某个函数 $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ 使得 $\textsf{CC}(\text{U}_n \diamond \text{KW}_f) \geq 1.5n-o(n)$，其中 $\textsf{CC}$ 表示问题的通信复杂度。在本文中，我们显著改进了他们的结果，并给出了通用关系与大多数函数的一个渐近紧且更一般的复合定理，即对于大多数函数 $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$，当 $m=\omega(\log^2 n),n =\omega(\sqrt{m})$ 时，有 $\textsf{CC}(\text{U}_m \diamond \text{KW}_f) \geq m+ n -O(\sqrt{m})$。这是通过在部分半双工模型中直接证明通用关系与多路复用器的复合定理而避免 xor 复合来实现的。并且该证明即便在多路复用器仅包含少数函数时也成立。我们证明中的一个关键要素涉及一个组合问题：构造一棵多叶的树，且每片叶子包含一个互不重叠的函数集合。对于每片叶子，存在一组输入使得该叶中每个函数取相同的值，即所有函数都被限制。我们展示了如何选取一组良好输入来有效限制这些函数，以迫使每片叶子中的函数数量尽可能小，同时保持所有叶子中函数总数不变。这导致了大量的叶子。