Plücker 关系的推广及其在子行列式最大化中的应用

给定矩阵 $A$ 和 $k\geq 0$，我们研究寻找 $A$ 的绝对行列式值最大的 $k\times k$ 子矩阵的问题。该问题受 [LSV86] 中基于行列式的遗传差异下界计算问题的启发，后者后来被证明也是近似上界 [Mat13]。当 $k$ 与 $A$ 的某一维相等时的特例已被广泛研究。[Nik15] 针对该特例给出了 $2^{O(k)}$-近似算法，与已知下界匹配；他还提出为一般情况设计近似算法作为开放问题。我们朝回答该问题取得进展，给出了首个针对一般 $k\times k$ 子行列式最大化的高效近似算法，其近似比仅依赖于 $k$。我们的算法通过简单的局部搜索找到 $k^{O(k)}$-近似解。我们实现技术分析近似比的主要技术贡献是 Grassmannian 的 Plücker 关系的推广，这可能具有独立意义；Plücker 关系是涉及 $k\times n$ 矩阵的 $k\times k$ 子行列式集合的二次多项式方程。我们找到了这些关系到一般 $m\times n$ 矩阵的 $k\times k$ 子行列式的推广。