回归背景下一种满足人口均等且均衡组间风险的预测示例

设 $(X, S, Y) \in \mathbb{R}^p \times \{1, 2\} \times \mathbb{R}$ 为遵循某联合分布 $\mathbb{P}$ 的三元组，其中 $X$ 为特征向量，$S$ 为敏感属性，$Y$ 为目标变量。不产生差别对待的贝叶斯最优预测 $f^*$ 定义为 $f^*(x) = \mathbb{E}[Y | X = x]$。我们给出一个非平凡的预测 $x \to f(x)$ 示例，其满足两种常见的组公平概念：人口均等（Demographic Parity）\begin{align} (f(X) | S = 1) &\stackrel{d}{=} (f(X) | S = 2) \end{align} 与均衡组间风险（Equal Group-Wise Risks）\begin{align} \mathbb{E}[(f^*(X) - f(X))^2 | S = 1] = \mathbb{E}[(f^*(X) - f(X))^2 | S = 2]. \end{align} 据我们所知，这是首个满足上述条件的非常数预测器的显式构造。我们讨论了该结果对更好理解算法公平数学概念的若干启示。