最大不相交路径问题中易处理需求模式的精确刻画

我们研究以下一般不相交路径问题：给定一个供应图$G$、一个端点集$T\subseteq V(G)$、一个定义在顶点$T$上的需求图$H$以及一个整数$k$，任务是找到$k$条两两顶点不相交的有效路径，其中若供应图$G$的一条路径的端点属于$T$且在需求图$H$中相邻，则称该路径有效。对于一类图$\mathcal{H}$，我们用$\mathcal{H}$-最大不相交路径表示当需求图$H$被假定为$\mathcal{H}$的成员时该问题的限制版本。我们研究以$k$为参数化时该问题族的固定参数易处理性。我们的主要结果是对每个遗传图类$\mathcal{H}$的$\mathcal{H}$-最大不相交路径的固定参数易处理情形给出了完整刻画：结果表明，复杂性取决于需求图$H$中是否存在大的导出匹配和大的导出斜双团（斜双团是一个二分图，其顶点为$a_1$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$，且$a_i$与$b_j$相邻当且仅当$i\le j$）。具体地，我们对每个遗传类$\mathcal{H}$证明了以下分类。1. 若$\mathcal{H}$既不包含所有匹配也不包含所有斜双团，则$\mathcal{H}$-最大不相交路径是FPT。2. 若$\mathcal{H}$不包含所有匹配但包含所有斜双团，则$\mathcal{H}$-最大不相交路径是W[1]-难的，承认FPT近似，且有效路径满足Erd\H{o}s-P\'osa性质的类比。3. 若$\mathcal{H}$包含所有匹配，则$\mathcal{H}$-最大不相交路径是W[1]-难的，且有效路径不满足Erd\H{o}s-P\'osa性质的类比。